四角形減去一個角剩下幾個角?

不久以前, 我聽到 (而沒有看到) 一次在電視裡舉辦的小學生智力測驗的節目。接受測驗的好像是三年級的小朋友。　　其中有一個題目是「四角形減去一個剩下幾個角?」

每一個題目有一定的答卷時間, 等這個題目的時間到了, 每一位小孩用號碼牌指示他們的答案時, 那位主持測驗的女老師失望了。竟沒有一個學生回答「四角形減去一角等於五個角」, 而這個答案卻是那位老師心目中的標準答案。

由於沒有一個學生「答對」, 那老師就娓娓地加以解說起來, 並且實際數給學生看, 以便證實「四角形減去一個角剩下五個角」是個對的答案。我聽了, 內心不斷地對那些天真爛漫的小朋友感到歉咎起來。尤其是像我這樣正在開始從事於教育工作的人, 當看到學生不是被啟發而是被誤導的時侯, 內心感到的是一種沒有盡職的慚愧與不安。那時我在想, 像這種只能在小朋友的腦子裡引起的紛亂的題目怎好拿來測驗他們的智力呢? 而且那個電視節目號稱是「教育部委託本[臺灣電視]公司製作」的, 堂堂一個教育部怎好這樣潦草從事。

因為我聽到的只是「四角形ㄐㄧㄢˇ去一個角剩下幾個角?」這個『ㄐㄧㄢˇ』字可以是『減』也可能是『剪』。為了底下會說的理由, 我們暫時當它是『剪』字來開始我們的討論。

假定在那個節目裡有一個小朋友反應靈敏並且淘氣一些, 正當女老師比手劃腳地說明四角形如何被剪去一個角而剩下五角的時候, 調皮地發問說:「啊, 老師, 你不是剪下一個角了, 你剪下三個角!」 (見附圖一)

這時, 那位女老師大概會緊張起來。也許她會立即辯護自己 (也是其他許許多多聰明而且智力很高的大人) 的答案, 說「你們看老師拿起剪刀, 明明在四角當中, 只剪去了一個角, 那麼剩下的明明就是三個角。」這時學生可以回答說:「既然明明在四角當中, 只剪下了一個角, 那麼剩下的明明就是三個角。」老師如果不服氣地說: 「可是你們數數看被剪過的四角形上有幾個角。」這時學生也可以青出於藍地反問:「那麼老師也數一數被你剪下的小圖形上有幾個角。」這樣地爭論下去, 我相信那位女老師只有臉紅地站著發呆直到節目完畢。試想: 類似這種題目怎好以這種方式 ── 把答案死定為「剩下五個角」── 來測驗小朋友的智力呢? 那晚那一群小孩被這樣一次教育不知要過多久才有機會抹去因這次測驗帶來的不良影響。

其實, 如果問題是「四角形剪去一個角剩下幾個角?」的話, 那麼答案可以有許許多多個。在這許許多多的答案中如果一定要說其中那一個是標準的, 這樣做會為假定太多而流於獨斷。對於上述的問題, 不同的剪法有不同的答案。

比如我們可以用附圖一的剪法, 這時我們剪下三個角, 剩下五個角; 也可以用用附圖二的剪法, 這時剪下了三個角, 剩下三個角。假如我們用附圖三的剪法, 則我們剪下了許多的角, 剩下許多角…。

從這些不一而足的例釋, 我們可看得出原來的題目並不是一個語意確定的題目, 有許許多多的作法均可以被解釋成「(從) 四角形剪下一個角」。而所得的結果或答案又彼此可以不同。

導致這種結果的是因為「四角形剪去一個角剩下幾個角?」不是一個數學問題, 而是一個經驗問題或事實問題。經驗問題只有實際從事觀察去獲取答案, 不像數學問題可以只藉著筆和紙就可以演算出答案來。這就是「四角形『減』去一個角剩下幾個角?」與「4 (個角) - 1 (個角) = ? (個角)」(或者「四角形」『減』去一個角剩下幾個角?」) 之間最大的不同。後者是一個數學的演算, 它有一個不變的答案; 而前者是一個經驗問題, 它的答案必須視實際的經驗內容而轉移。

以這樣的問題來測驗小學三年級的小學生是一種誤導和添增紛亂而不是一種啟發, 因為:

(1)假定原來的問題是「四角形『減』去一個角剩下幾個角?」, 那麼它是一個數學問題, 它的意義是「4(個角) - 1 (個角) = ? (個角)」, 答案的「三個角」 , 因為「4 - 1 = 3」因此「４個角－１個角＝３個角」。　　可是那位老師卻說答案是五個角，　而不是學生一致回答的「三個角」。　　題目如果是我們現在所談的意義，　那麼那天老師正好該與那些學生換位而坐。　　可是：

(2)假定原來的問題是「四角形『剪』去一個角剩下幾個角?」那麼它是一個經驗問題。它的答案(我們已經說過了)要依據實際的經驗內容來決定。在我們這個例子裏, 我們至少必須考慮是怎樣剪法, 甚至有時說不定澴得考慮那個四角形會不會是一個「阿米巴四角形」, 當我們剪了它一角, 它在瞬時裡立刻再生出來......等等。無論如何, 除非這些已經決定了, 否則我們是無法預知一個確切不移的答案的。因此在電視裡的老師一口咬定「剩下五個角」是不當的, 這是一種不良教育。

問題如果真是這個意義, 那麼有一個情況的確可以將這個問題當做智力測驗的題目。就是當我們翼圖學生會做類似底下的回答時:「剩下幾個角嗎? 那看老師怎樣剪法。」「老師你先剪, 我們再回答剩下幾個角。」可是那次電視測驗節目裡, 剩下幾個角只有用號碼牌指示, 學生根本沒有講話的餘地, 這樣做法實在是欺負了那些學生一次 ── 在他們智力的成長上誤放了一技毒箭。

不管把題目的語意當做起(1)(2) 的那一種解釋, 那天電視上的題目和做法對於小學生來說都是一種不幸的誤導。我們的教育節目竟如此地缺乏專家的指導, 任憑不知什麼人, 不知從什麼地方搞來這種無邊的猜謎當做智力測驗。

由於這個題目, 我回憶起當我是一個小學生的時候, 也曾經無言地被同樣地欺負過一次。記得好像是二年級的時候, 那時我們的暑假作業手冊叫做「暑假小朋友」, 裡面有一個題目問:

「電線上有十隻鳥, 牧童用彈弓打下一隻。問電線上還有幾隻鳥?」

我那時頭腦純潔, 想法簡單, 就回答說: 「還有九隻。」可是到返校日(那時我們叫「登校日」) 才看到那些家裡有哥哥有姐姐的同學都答「剩下0隻」那時我被弄糊塗了, 原先把它當做算術演算, 後來只好把它當做謎語猜。可是現在我曉得即使把它當謎語, 也沒有一定不可改變的謎底。

電線上十隻鳥, 牧童打下一隻剩下幾隻呢? 如果這是算術的演算, 當然剩下九隻。可是如果那是一個實際經驗的考察, 我們只好張大眼睛看實際上發生什麼結果了。牧童打下了一隻, 剩下的假如喪膽而逃 , 結果就剩下零隻(沒有剩下) 。可是如果有一雙特別大膽, 可能就剩下一隻。萬一這十隻小鳥都是又瞎又聾的, 雖然一個同伴被打下去, 可能剩下九隻仍然婷婷玉立在電線上......。如果不是當場目擊, 或間接聽說, 誰知道實際情形到底如何呢?

2.

在上一節裡, 我們提過「算術的演算」與」「經驗的考察」。現在讓我們看一看兩者之間的分別:

(A) 像「1+2=3」「4-1=3」等等我們稱為「算術演算」。平常我們分別把它們唸成「一加二等於三」和「四減一等於三」。

我們如何斷言「1+2=3」呢? 是不是需要數一數含有一顆糖果的紙包, 再數一數含有兩顆糖果的紙包, 然後再將兩包的糖果合在一起數一次, 以便決定是不是一共三顆糖果呢? 或者需要藉著其他的辦法, 諸如數蘋果、數指頭、數飛鳥......來檢查「1+2=3」呢? 也可以說「1+2=3」這一斷言之為真是靠什麼辦法來決定的呢?

如果我們可以藉著某種辦法或程序來證實某一語句之為真, 那麼同樣地, 我們也可以藉著同一辦法或程序來反證該一語句之為假。比方: 為要證實臺大校園裡有一叢藍色的玫瑰, 那麼我們可以用直接前往臺大校園, 親自去觀察的辦法。看看是不是確實有一叢那樣的花。如果真有的話那麼用那辦法(直接前往觀察)我們可以證實『臺大校園裡有一叢藍色的玫瑰』這一語句為真; 如果事實上沒有那樣的花, 那麼用同樣的那個辦法(直接前往觀察)我們可以反證『臺大校園裡有一叢藍色的玫瑰』這一句之為假。也就是說, 我們要證實某一句或反證它, 所用的是同一個辦法或程序。因為證實和反證是同一考察的結果之反面。當我們證實(斷言)某一語句S時等於反證(否定)該語句之反面S’; 反之, 當我們證實(斷言)某一語句之反面S’時, 等於反證(否定)該語句S。同樣地, 當我們反證(否定)某一語句S時, 等於證實(斷言)該語句的反面S’; 當我們反證(否定)某一語句的反面S’時, 等於證實(斷言)該語句S。把這個原則應用到我們正在討論的問題上: 如果我們用某種辦法來斷言 1+2=3, 那麼我們也可以用同一辦法來否定它。如果我們是藉著上述的數蘋果, 數指頭等辦法來決定「1+2=3」是不是真的, 那麼我們也可以藉著同樣的數蘋果, 數指頭的那些辦法來決定「1+2=3」是不是假的。

假定我們的面前有三個磁碗。在每一個碗裡, 我們分別地滴進一滴水銀。這時我們可以這樣數著: 我滴進一滴水銀, 再滴進兩滴水銀, 那麼在我的面前一共有三滴水銀。可是, 假定我們的面前只有一個磁碗, 我們連續地滴進三滴水銀, 正要再數, 一看發覺碗裡並不是三滴水銀, 而是一大滴水銀。這時我們是不是可以用這個辦法來否定『1+2=3』 , 來說它不是真的, 是假的呢? 通常我們是這樣做的嗎?

不是的。

儘管在小學或幼稚園的時候, 老師教我們算術時, 最先總是從計數一些具體的事物開始的: 比方數指頭, 數粉筆等等。即使每一個數字1,2,3,......,10,......也都是藉著展示實際事物的多少去習得。可是這樣的做法是為了教學的方便, 使學生容易學習而已。然而算術演算的性質不在於此。從理論上說, 它並不是從計數具體的事物開始, 因而不是靠實際計數具體事物[的辦法來證實或反證類似『1+2=3』這樣的算術命辭。

從理論上說, 算術命辭如『1+2=3』是必然為真的。因此沒有一個實際的具體事物的計數結果(比如數水銀滴)可以用來反證它為假。這樣的算術命辭是恒真的, 它種是一個恒真式。它之所以會是必然為真, 是因為我們構作算術演算的程序使然。依照我們界定數字(『1』, 『2』 , ......)以及其他算術記號(如『+』『=』)的結果, 『1+2』與『3』彼此是同義語。因為它們兩者是同義語, 因此它們所指的數字相同, 它們所指的數字相同。因此『1+2=3』是一定為真的。這是因為我們對這一算術式的各記號『1』『2』『3』『+』『=』的界說(定義)使它如此。這種情形猶如我們界定『犬』是『狗』的同義語之後, 就一定不會有犬而非狗的, 也不會是狗而非犬的種物。因為依照們對所用的字詞之語義規約, 『犬』與『狗』指的是一種動物。因此我們無法在任何地方, 任何時候找到犬而非狗或是狗而非犬的動物。同樣的, 算術命辭也是如此, 我們無法用任何具體事物的計數來斷言是「1+2」而卻不是「3」的數目。換句話說: 我們永遠無法藉著具體事物的計數來反證「1+2=3」。也就是說, 它是一個恒真式。

(B)可是經驗上, 對於體具事物的計數, 情形就不同了。假如我們面前有一隻公雞, 然後又走來另一隻, 那麼在我們面前一共有兩隻公雞。可是在藍天裡有一朵雲彩, 再飄來一朵, 可能合成一大朵, 也可能碎成許多小小朵。我們在第一節舉例裡也說過, 四角形剪去一個角可能變成三個角, 也可能變成五個角, 或更多個角。

這些問題不是算術的演算, 至少不只是算術的演算。因為在上述的每一個例子裡都有不足只是(算術用法上的)符號之語意約定的其他因素參入其間。比如數水銀滴的例子, 我們必須要知道水銀的內聚力大於附著力, 因此兩滴水銀滴在一起時, 它們蓋然地會聚合為一而不會像兩顆花生米一樣地會緊靠著並立, 這些都是經驗考察的範圍而不是純粹的算術演算。

經驗的考察並不是無法得到精確的結論。然而經驗考察的精確性在理論上永遠是介於0 與1 之間, 而不會像算術命辭如『1+1=2』那樣的必然為真。這是因為凡是經驗的考察, 其結論的精確性完全看我們把握與該一事例相干的因素之多少而定。理論上無法證明我們對於任何一個經驗事例的相干因素握有百分百的瞭解。比如, 順著數水銀滴的例子: 依照平日的考察, 兩滴水銀在碗底會結成一大滴, 可是當我們再一次試驗時, 也許會驚訝地發覺兩滴水銀竟距離分毫地並列著。原來碗底剛好有兩個小窪窩裡, 而且兩滴水銀正好分別掉了入兩個小窪窩裡頭。碗底是否平坦這個因素我們忘了考慮, 因此我們以為兩滴水銀會聚合成一大滴, 而忽略了它們距離分毫地並列的可能性。類似地, 當我們毫不考慮相干條件而就發問「四角形剪去一個角剩下幾個角?」, 這樣的問題是無法回答的。這時剪法最相干, 不同的剪法有不同的結果, 關於這一點我們已經說過了。

總之, 經驗的考察與算術的演算是不同的。前者在一個實際世界的脈絡裡進行,因此結論的真假完全看實際世界的演變結果來決定。平常, 我們儘量地在努力, 考察經驗世界之事事物物的演變規則, 希望在看似紛離的萬象之中理出一些頭緒, 一些規則來, 這就是科學致力的目標。可是算術的演算就不必考慮經驗世界的萬象變化, 因為它的必然性只根據「規約」。比如我們只要知道「1+2=3」這一算術式中每一個符號的意義和用法, 就可知道那一算術式必然為真。

在這樣的解析之下, 我們明顯地區分經驗的考察與算術的演算; 也就因而顯明地區分經驗的語句與算術的語句, 前者如『碗底有顆水銀粒,再滴下一顆, 結果它們聚成一大顆』, 而後者如『1+2=3』。前者的真假依靠實際的經驗來決定, 它之為真是蓋然地真; 後者的真假完全建基於對符號的語意約定上, 它之為真是必然地真。

(C)我們做了以上截然的二分, 意思是說, 經驗的考察是一回事, 算術的演算又是另一回事。可是我們並沒有說算術的演算就因而不能應用到經驗的考察之上。事實上, 在各式各樣的經驗考察中, 算術演算應用得極為普遍。為什麼原來只是對於符號的語意約定的演算式能夠應用到經驗考察呢?

算術的演算本來是一系統的符號運作。我們只要根據運作規則, 就可以由某一個(些)符號演算到另外某一個(些)符號而不必追問每一個符號是否有實際的物體與它相對應。可是為了使一個系統不止是符號運作的遊戲, 同時也能實際運用到某類的例子裡, 通常我們就在經驗世界中找些可以用來「例釋」這種符號運算的項目。被找來的例釋我們稱為該符號系統的「模樣」。比方, 為要例釋一個部份的算術系統, 我們可以用加法的計數來做例子。於是我們將「1+1=2」唸做:一加一等於二, 甚至用更具體的例子, 如計數蘋果, 指頭等來幫助對於「1+1=2」的唸的瞭解。同時這樣做也指出「1+1=2」對於經驗世界的應用。

如果我們要把計數蘋果當做算術加法演算的應用, 那麼我們第一步先把屬於經驗的語句改成屬於算術的語句。例如, 我們先得把(比如)『拿了一隻蘋果, 一共拿了兩隻蘋果。』這一經驗句改寫為(比如)『一隻蘋果加一隻蘋果於兩隻蘋果』或者『1 (隻蘋果) +1 (蘋果) =2 (隻蘋果)』。用這種辦法將經驗考察化成算術演算。

經過這樣的解析, 我們可以回頭檢討一下文題目的用字。我們的題目本來是「四角形減去一個角剩下幾個角?」 ,是一開始討論不久, 我們就暫時把題目改定為「四角形剪去一個角剩下幾個角?」。在這樣的更改之下, 用『減』字與用『剪』字, 彼此之間有著很大的差別。

如果我在題目裡採用『減字』。那麼題目「四角形減去一個角剩下幾個角? 」是一個算術問題, 它涉及的只是算術演算。我們可以將它改寫成「4(個角) - 1(個角)= ? (個角)」 , 這時我們知道答案一定是「三個角」。

可是, 如果我們在題目裡採用『剪』字, 那麼題目「四角形剪去一個角剩下幾個角?」是一個經驗的考察。這時我們所採用的剪法, 剪刀的性質, 四角形的性質......等等都成了足以左右答案的相干因素毫無所悉, 事先若對這些相干因素毫無所悉, 或不加以規定, 對於題目所示的問題, 我們是無法得到碓切的答案的。

因此我們知道電視節目裡那智力測驗是誤人的。因為那樣的題目不是算術的演算, 就是經驗的考察。如果它是算術的演算, 那麼題目應該是「四角形減去一個角剩下幾角?」它的答案一定「三個角」,而不會是那位老師說的「五個角」。反之, 如果它是經驗的考察, 那麼除非把相干的因素事先規約清楚, 否則是沒有一定不變的答案的。可是那位老師一口咬定答案是五個角 , 這樣的作法是錯誤的。

在那一次智力測驗裡, 倒是被測驗的小學生保持頭腦清楚。他們雖然不知道題目可以有二解(如果只憑「ㄐ一ㄢˇ」字的發音。可是如果老師已寫出『減』或『剪』, 則只有一解)。他們都把它想成算術演算, 並且求得了正確的答案。不幸的是那位老師那「無理無知」的悶棍重重地打了他們一擊, 害得他們不敢發問地徬徨起來。類似這個例子所示的是一些常見的現象。誤人子第常常也是目前們教育的一面。更嚴重的是, 再說一遍, 那個題目還是「教育部委託本[臺灣電視]公司製作」的呢!

3.

以後我們推行教育事業的個人或機構, 如果要編教育材、寫講義、辦考試、出測驗......的時候, 最好留心一下內容是否富於教育價值, 而不只是為要製造鏡頭而已。教育的事業應該由懂教育的人去舉辦, 否則遲早會離譜, 會貽笑大方的。如果像上述的例子都可以不清不楚地拿來當做智力測驗的題,那麼底下這個例子可以拿來做智力測驗(還可以拿來測驗大人!):

題目 ── 我面向著遠處的一座牆壁, 壁上有一個小洞。我右手抓著一隻老鼠, 左手抱著一頭大貓。現在我要面對牆壁鬆開兩手, 請問貓與老鼠會發生什麼事?

許多受測驗的人都做了答案, 可是我另有內定了的「標準答案」。它是:

當我鬆開雙手, 老鼠死命地向遠方壁上的小洞逃去, 大貓奔命地追趕。突然一個響聲, 大貓的頭碰在洞口的牆上昏厥過去。老鼠一看貓撞暈了, 回過頭, 再由小洞爬過來, 走近貓兒, 嗅一嗅牠, 抬起頭高聲地對我說:「你養的是隻大笨貓!」

一九六四年七月卅一日

附註:

在正文的討論裡, 談及算術演算時, 我們儘量避免使用專技名詞, 可是為了更精碓的瞭解起見, 將其中最相干的部份補述在下面。

我們說, 類似『1+2=3』這樣的算術語句(命辭)是必然地真。因為它之為真是依據我們對於『1』『2 』『3』『+』『=』等符號的語意規約而來的。就是說, 依照我們的語意規約, 『1+2 =3』與『3』是同義語, 它們所指的是同一個數目。

為了證明類似『1+2=3』, 我們先介紹整套自然數所據以推衍出來的設理系統 (axiomatic system), 這一設理系統是意大利數學家G.Peano所創訂的。

假如我們要用語言來界定某一個語詞, 那麼勢必運用到其他的語詞。因此在一個設理系統中總有某一個或某些個語詞沒經界定, 這些沒經界定的語詞, 我們稱為「未界定詞」(undefinedterm) 。

在Peano的系統裡, 未界定詞有三個:

<1> 『0』。

<2>『數』。

<3>『續項』 ('successor'), (用『’』來表示某一數n的續項, 可以寫成n’』)

這一系統包括五個設理(axiom):

(1)0是一個數。

(2)任何數之續項為數。

(3)沒有二數有同一續項。

(4)0非任何數之續項。

(5)(假如P為某性質); 如果: <1> 0有性質P, 而且<2>凡數n有性質P則其續項亦有性質P, 那麼: 每一數都有性質P。

基於這五個設理, 我們可以對所有的自然數加以界定。比如: 1界定為0 的續項, 或寫做0’; 界2定為1 的續項, 或寫做1’ ......。由設理(2)我們可以將這種界定的程序繼續至無窮。由設理(3)與設理(5) 我們知道在前述繼續不斷的界定的過程中, 不會返回已經界定的數來。又由設理(4)我們知道, 那樣的繼續界定也不返會回0。因此, 依這種辦法, 所有和每一個自然數都可以被界定出來。

其次, 讓我們界定『+』的意義: (n, k分別為自然數。)

<1>n+o=n

<2>n+k’=(n+k) ’

v 我們把<1> <2>叫做「加法界定說」。任意兩數之和都可以著加法界說來以決定。

現在我們可以用來證明『1+2=3』了。

首先依照我們對『1』與『2』......的界說:

『1+2』=『1+1’』=『1+(0’) ’』

又由加法界定說<2>:

v 『1+(0’) ’』=『(1+0’) ’』=『( (1+0) ’) ’』

再由加法界說<1>『((1+0) ’) ’』=『((1) ’) ’』

最後, 再依數的界說:

『((1) ’) ’』=『(2) ’』=『3』

因此『1+2=3』得到了證明:

(為了應付證明減式, 乘式與除式, 我們也可以分別創置減法界說, 乘法界說與除法界說。)

因為『0』,『數』和『續項』在Peano系統中沒有被界定, 它的意義不一定要指目前我們心目中所具有的意義──這樣的意義只是該系統的一個解釋(interpretation)或「模樣」(model)而已。任何項目只要滿足此系統的五個設理,均可被視為是這系統的一個解釋或模樣。因此Peano系統可以容許許多不同的解釋或模樣。