書評(二)

在本書出版之前，英語世界裏至少有一百本各種程度的邏輯書在流傳，其中有數十本是水準以上的符號邏輯教科書。在這樣的情況下為學術界或教育界添增另一本符號邏輯書，似乎要有合理的動機和適當的目的。比如：(1)在邏輯上有新的建樹：新的發現，新的系統陳構，新的概念的建立，新的方法的引用等；(2)對於已知的邏輯概念、系統與方法加以更精確有用或更完整的闡明詮釋；(3)對於邏輯的應用──比如在數理上的應用，在電算機上的應用，在人文科學裏的應用等──做出更深廣有用的啟發；(4)對於邏輯的哲學意含或哲學基礎提供更為深入的探索與分析；(5)在邏輯教學上提出新的貢獻，比如設計更富啟發的問題，採用較易被接受的程序和方法等等。

假如從這類的標準來衡量，評者以為《符號邏輯導釋》一書的出版值得熱烈歡迎；著者梅西博士的努力顯然沒有白費。

在該書原序裏，作者說出他寫作此書的原委乃在「試著寫一本盡可能適應最大多數講授符號邏輯者的需要和偏好的教科書。……它處理多樣的題材，而給教的人相當大的幅度，可以挑選所要講的題目以及它們的講解次序。……作者設法在講解上力求清晰，希望本書對於自修符號邏輯的人也有功用。」接著他頗為謙虛地說：「目前有許多優良的符號邏輯書流傳。在那些好書之中，每一本都在某一方面或某幾方面高過其他。作者深感其最基本的教學上的義務，乃盡己之所能模仿各書的優點。是故本書所有新穎之處，乃出於必需而非有意為之也」。

本書的確匯集了許多符號邏輯教科書的優點以及表現上的新穎之處。評者特摘要為之指出。

本書除了獻辭、序言、習題難易說明、以及為教員提供由一學季，一學期到一學年之邏輯課所可選用的章節的十九種可能性之提示之外，共分四部分，三十四章；每章(或偶爾兩章，有一處三章)之後設有習題。但因作者也把習題標入章數，因此原書共列出六十三章。(也就是說，其中二十九章是習題。)除此之外，本書還有九個附錄，每一附錄之後也設列習題。(所以一共有三十八章習題。)書末另有十二頁長的索引。

這本書有許多顯而易見的優點：

(1)就題材上看，本書除了處理一般所謂「初階邏輯」(first-order logic)外，還包含一些到晚近才較完好發展出來的邏輯。比如「模態邏輯」(modal logic)與「時態邏輯」(tense logic)。可是作者並非將這些邏輯閒置書中，聊備一格；而是有計劃，有目的，匠心獨運地將它們與全書的其他部份密切關聯起來，使讀者體認到邏輯的一些可能發展方向和可以拓廣的領域；同時也注意到當我們由制式邏輯拓展到非制式邏輯時，原來在我們心目中的邏輯概念是否產生陳構上的改變；當初在制式邏輯中所使用的邏輯用法，是否仍然可以適用在新的邏輯裏，或是經過怎樣的修訂才能適用；不僅如此，在制式邏輯系統中的某些問題、特徵與限制，在新的邏輯系統中是否仍然保存，或是在新的邏輯裏含有其他很不相同的問題、特徵和限制。

舉個例子來說，由真函(真值函數)的邏輯擴展到某一系統的語句模態邏輯時，有些邏輯概念在前一個邏輯裏只能用「後設語言」表達的，現在可能表達在模態邏輯語言裏。比如「必然地真」，「相容」(「可同真」)，「不可能為真」等概念就是。又如在真函邏輯裏，我們希望一個邏輯系統的建立可以用來徵定「真函恆真性」，可是在語句模態邏輯裏我們徵定出什麼邏輯性質呢？再如真值表法在真函邏輯裏是種切合實際極為方便的「判定程序」，可是類似的方法是否可以推廣到語句模態邏輯呢？

最後這個問題值得在此一提。由於模態邏輯裏含有非真函的連詞(non-truth functional connective)，因此模態邏輯不是種真函邏輯。同時表面上看來真值表法似乎只是針對真函邏輯而發，因此只能應用到真函邏輯之上，做為該邏輯內的一些性質與關係的判定程序；所以那樣的方法好似與模態邏輯是無緣的。事實上這想法是錯誤的。雖然語句模態邏輯的確不是種真函邏輯，可是真值表法卻可以加以必要的延伸，而用來充當語句模態邏輯裏的判定程序。遠在一九四○年代廉納德(Henry S Leonard)已經指出這個可能性。(參見："Two-Valued Truth Tables for Modal Functions ,"收於Structure, Method and Meaning, Essays in Honor of Henry M. Sheffer, New York, 1949,pp42-67.文中的主要概念出於廉氏在一九四一年於美國哲學會東部支會年會上宣讀之一篇論文中。)可是這個想法卻一直沒有受到普遍的注意，更談不上繼續發展。到了一九五○年代後期克利普基(Saul Kripke)的語意論引起了邏輯家的注意，於是在這方面的進展才日見成績。(關於克氏的論理可參見其所發表的論文："A Completeness Theorem in Modal Logic,"刊登於Journal of Symbolic Logic, vol.24, 1959,pp1-40)而在本書裏，作者將這一新發展與真值表的製圖方式關聯起來，利用他所謂的「全體真值表集」(plenary set of truth tables)充當語句模態邏輯的判定程序。真值表法是種極為簡單而且容易瞭解的方法，因此作者這一段發展從邏輯教學的觀點上說，是個很大的貢獻。

類似這樣能夠銜接邏輯的晚近發展，並且進一步在表達上推陳出新的例子，在本書中屢見不鮮。

(2)就處理邏輯的方式言，本書採用多種的邏輯方法，並陳共列。使讀者可以在適當的脈絡裏，比其得失，論其成就。比如在邏輯系統的構作上，設理法與自然演繹法兼收；在判定問題上，則普通真值表次，特種真值表法，語意圖表法和模型論法並用；在後設定理(比如「完全性定理」)的證明上，作者也注意到不同證明的特性與優點，在適當的時候將它們介紹出來。從邏輯的觀點看，也許我們覺得多種方法，多種證明與多種陳構方式的羅列並無需要，因為最簡單的方法就是最好的方法，最簡單的證明就是最好的證明，同樣地，最簡單的陳構方式就是最好的陳構方式。可惜簡單性不是個單純的東西，它有著很複雜的性質。在我們追求簡單性時往往得之此域，失之他方。因此我們只能做出某種權衡與安排，依據我們的目的和需要，在簡單、適用與美妙之間做出最適當的選擇。此書的作者正是如此。他並非漫無目的、毫無安排地隨意將多種方法、證明與陳構雜陳書中，而是從邏輯教學的成效的觀點，定下取捨與次序安排的決定。

舉個例子來說，在真函邏輯裏我們構作邏輯系統的主要目的在於捕捉真函恆真式所謂「套套絡基」(tautology)。(其他目的都可以在上述目的之獲取上經過衍伸獲得。)可是對於真函恆真性而言，真值表法已經提供了一個簡單有效的判定程序，因此我們不必再引介其他的邏輯方法，比如設理法或是自然演繹法。然而邏輯教學的主要意義經常不在於系統內的結繭自賞，而在系統外的察視觀看。從一個系統之外對於該系統所做的論述，我們稱為該系統的「後設論」(metatheory)。評者以為後設論的發展是邏輯教學上不可忽視的事，因為在後設理論裏，我們才容易養成對於邏輯語言、邏輯系統、邏輯概念與邏輯方法的反省與自覺。本書作者顯然注意到這一點。因此利用真值表法對於許多重要的邏輯概念加以闡明之後，接著陳構一個美好的真函邏輯的設理系統。(該系統的主要成素，尤其是設理與推論的選擇主要根據波蘭邏輯家吳卡諧威奇Jan ukasiewicz 的發明。參見吳氏之"Untersuchungen ber den Aussagenkalk l,"Sprawozdania z posiedzen Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, vol.23,no.1-3,1930;收在Comptesrendus des seances de la Societe des Sciences et des lettres de Varsovie, Classe III,pp30-50。)在這一設理化的系統中，許多後設概念得到清晰的闡釋，重要的後設定理有了嚴格優美的證明。

本書作者在處理題材與運用方法上的匠心，也可以從另一個很明顯的例子看出來。我們已經知道一個邏輯系統的「完全性定理」有幾種不同的證法。對於真函邏輯而言，伽瑪(Laszlo Kalmar)的方法堪稱為最簡單而優美的證法。然而梅氏在書中卻採用亨肯(Leon Henkin)的證法，此一證法施之於真函邏輯還不如伽氏法之簡潔，因為這時我們必須另外引介一些邏輯概念。可是亨氏之方法卻是個極為有力的證法，它之施於真函邏輯，乍看起來或會使人驚生「牛刀割雞」之感，可是作者先令學生在遠較簡單的真函邏輯的後設論裏熟悉了這一些證法和其所需之概念，等到將此證法移用到遠較複雜而困難的模態邏輯和量化論時，該證法也就顯得自然親近，而生得心應手之功。這一安排當然是基於邏輯教學的考慮而做出的。

作者當然也不願無謂地遺落邏輯上的真珠，因此他在書末的附錄C裏，把伽瑪證法介紹出來。

(3)本書最值得稱道而應大力加以讚揚的是作者對於邏輯後設論的發展與開拓。這包括對於許多邏輯概念的闡釋，對於許多邏輯性質的釐定，對於許多邏輯關係的建立，以及對於許多重要的邏輯後設判斷的證明。全書從頭到尾都注重後設理論的開展，不只在本文的解說裏如此，在習題內和附錄裏的發展和提示中，亦復如此。

真函邏輯部份，前面已經說過。在開展語句模態邏輯時，作者選取路易士(C.I.Lewis)的系統S5。除了上述的真值表式的闡發之外，也採用設理法。在量化論裏，除了模型論外，採用了自然演繹法(其他的方法則在附錄中出現。比如量化論的設理法，各種邏輯系統的語意圖表法等。)書中在這一方面的發展之頂峰包括下列諸項：對於書中所介紹出來的系統──尤其是真函邏輯的設理系統，語句模態邏輯系統S5，瑰英(Willard V. Quine)之量化論的自然演繹系統──的完全性證明；帶有函數變數的量化邏輯系統的某些重要的限制及其結果，包括邱奇定理(Church's Theorem)的證明和格德爾不完全性定理(Godel Incompleteness Theorem)的證明。

梅氏對於後設論的闡述可謂不遺餘力。從藝術的觀點看來，邏輯之美在於嚴格、一貫、完全、力的發揮和系統性的展現；就在後設論裏，我們才真正乘風戲遊邏輯宮闕，而發此曲天上之嘆！

(4)作者也在書中收納一些自己的重要發明和貢獻。舉個容易察知的例子：當我們在構作邏輯系統而選擇一集「連詞」時，我們往往發問該集連詞的「功能完備性」(functional completeness)。這時就有一個有趣的問題發生，有沒有某個連詞自己本身就是功能完備的(也就是說，以它可以界定該邏輯裏的所有其他連詞。)在真函邏輯裏，雪佛(Henry M. Sheffer)在1913年第一個證明有此種連詞存在，這就是有名的所謂「雪佛之撇」(Sheffer's stroke)。我們可以用他所發現的這一單詞來界定所有的真函連詞。本書作者也在語句模態邏輯S5中發問類似的問題，並且辛苦地找到了答案。他在1966年發現一個有二元的「真值表式」連詞，可以用來界定其他所有的同類連詞(一共有無窮多個！)。可是那是個極為複雜的連詞。後來他又在1967年發現了一個遠為簡單而獨自功能完備的二元真值表式連詞。梅氏以星號'★'代表該一連詞，它可以用全體真值表法徵定如下：

梅氏將此連詞收在書中，以展示上述問題的解決。這個答案顯然來得不易。我們知道，一元連詞(不管是真函連詞或真值表式連詞)沒有一個是單獨地功能完備的。可是二完連詞呢？在真函邏輯裏，這個問題不算太難，因為一共有16個二完的真函連詞，雪佛就在這16個之中找到了一個，就是上述的雪佛之撇。(在這16個二完連詞中另外還有一個同樣是單獨功能完備的連詞。)可是二元的真值表式連詞之數目幾乎是個天文數字。它們一共有將近43億個！(精確數字是4,294,967,296個。)在這麼多的連詞中尋找一個功能完備的連詞，實在有如海底撈針。因此以後的邏輯史家說不定要彷照「雪佛之撇」，將上述的星號稱為「梅西之星」(Masey's star)亦未可知。

後來，梅氏又發現另一種模態系統S4，亦有此類連詞存在。但這個結果不在本書的討論之範圍內。

(5)作者也注重符號邏輯在許多方面的運動。比如真函邏輯對於電路設計上的助益，它為布爾代數提供的判定程序；怎樣在帶有函數變數的量化論裏，陳構皮阿諾(G.Peano)術算；怎樣在同一基礎上建構某種集合論。最後所提這點值得注意。書中引介並發展了哲學家廉納德(與上文所說者同一人)和顧德曼(Nelson Goodman);所構作的「個體演算」。(參見Henry S. Leonard & Nelson Goodman:"The Calculus of Individuals and Its Uses,"Journal of Symbolic Logic,vol.5, 1940,pp.45-55)一方面做約理(postulate)系統之例釋，另一方面也指出構作集合論可以採用的另一基礎。不僅如此，作者也致力闡明邏輯語言與自然語言之分際，強調我們在「應用邏輯」裏遭遇到的難題。比如在量化論的闡釋中，考慮日常語言的「討論界域」，就是一個例子。

(6)本書另外一個特點是習題豐富，所發問題富於啟發。許多正在文中不方便處理的問題，在習題的討論裏出現。作者把習題裏的問題分為四類，分別在問題的數碼上加上不同的括號。圓括號表示直截了當，人人可解的問題；方括號表示中度困難的問題，角括號表示高度困難的問題；至於曲括號的問題是些哲學性的問題，往往是些沒有正解或定解的問題。作者這樣的詳盡區分，也可看出他在邏輯教學上所下的苦心。

本書一共發問413題問題。其中第一類的問題有343題，第二類的問題有41題，第三類的問題有11題，最後一類的問題共有18題。

因為這是第一版，書中難免有些筆誤和錯印之處。評者試圖一一將之列舉如下。有些錯誤在一般寫的不夠嚴格緊密的書中，可以說不算是錯誤。

何秀煌
香港中文大學哲學系
(1977年3月10日)

書評 梅西：《符號邏輯導釋》 Gerald J.Massey :Understanding Symbolic Logic

書評梅西：《符號邏輯導釋》
Gerald J.Massey :Understanding Symbolic Logic